Albert Costa Casals comenzó a jugar al tenis animado por su padre en el C.T. Urgell de Lleida. A los cinco años empezó a participar en torneos de verano y con el tiempo terminó por jugar con mayor regularidad, con John McEnroe como ídolo.

En el año 1993 alcanzó la final de Roland Garros Junio y ganó el Rolex Orange Bowl. El 14 de junio de 2002 se casó con Cristina Ventura y su padrino fue Álex Corretja, el hombre que le había derrotado en semifinales de Roland Garros una semana antes.
Sus dos hijas gemelas, Claudia y Alma, nacieron el 21 de abril de 2001.

Sin lugar a dudas sus mejores recuerdos los guarda de su victoria en Roland Garros y del título de Copa Davis ambos logrados en 2002, año en el que también logró su mejor clasificación mundial (6º) sustentado en su revés a una mano.

Sus aficiones son la música, el cine (sus películas favoritas son Ben-Hur y El silencio de los corderos), el golf, el fútbol (es seguidor del Barcelona) y jugar a las cartas. Admira a Michael Jordan, Tiger Woods y al futbolista Ronaldo.

Fue elegido para el Consejo de Jugadores de la ATP en 2004-2006. Su entrenador es José Perlas y su preparador físico Toni Estalella.

Albert Costa es un luchador de la pista. Tiene una derecha respetable, un gran revés ofensivo y un poderoso drive. Mejora mucho en tierra batida sus resultados frente a otras superficies.